INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

Contoh

Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2.

Persamaan yang perlu dibuktikan:

S(n) = 1 + 3 + 5 +\cdots + 2n - 1 = n ^ 2

Langkah pembuktian pertama:
untuk \ n = 1, benar bahwa \ S(1) = 1 ^ 2 = 1

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk n = k, yaitu

S(k) = 1 + 3 + 5 + \cdots + 2k - 1 = k ^ 2, maka akan dibuktikan benar pula untuk n = k + 1, yaitu
S(k + 1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + 2k - 1 + 2(k + 1) - 1 =(k + 1) ^ 2

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa k2 = 1 + 3 + 5 + … + 2k − 1 sesuai dengan pengandaian awal

[1 + 3 + 5 + \cdots + 2k - 1] + 2(k + 1) - 1 = k ^ 2 + 2(k + 1) - 1

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

\ k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2, ingat bahwa (k + 1)2 = k2 + 2k + 1
\ (k + 1) ^ 2 = (k + 1) ^ 2 (terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli karena memenuhi kedua langkah pembuktian.

 Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan  Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu  Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements  n  A S(n) dengan A  N dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli.  S(n) adalah fungsi propositional
TAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA  Basis Step : Tunjukkan bahwa S(1) benar  Inductive Step : Sumsikan S(k) benar

 Akan dibuktikan  S(k)  S(k+1) benar

 Conclusion : S(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer

 positif

PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA Contoh 1 : Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1) untuk setiap n bilangan integer positif

 

 

Jawab :  Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

     1 = ½ 1 . (1+1)  1 = 1

 Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 2 + 3 + …+ k = ½ k (k+1)  adib. Untuk n = k+1 berlaku 1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2)

Jawab :  1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 1 + 2 + 3 + …+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

k (k+1) / 2 + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) [ k/2 +1 ] = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) ½ (k+2) = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) (k+2) / 2 = (k+1) (k+2) / 2

 Kesimpulan : 1 + 2 + 3 + …+ n = ½ n (n +1) Untuk setiap bilanga bulat positif n

Contoh 2 : Buktikan bahwa : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n – 1) = n2 untuk setiap n bilangan bulat positif

Jawab :  Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

     1 = 12  1 = 1

 Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = k2  adib. Untuk n = k + 1 berlaku 1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)2

k 2 + (2K + 1) = (k + 1)2 k 2 + 2K + 1 = k 2 + 2K + 1

Kesimpulan : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n – 1) = n2 Untuk setiap bilangan bulat positif n

Contoh 3 : Buktikan bahwa : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap n bilangan bulat positif

Jawab :  Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

     1 = 13 + 2(1)   1 = 3 , kelipatan 3

 Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x  adib. Untuk n = k + 1 berlaku (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3 (k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2 (k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3) (k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1) Induksi 3x + 3 (k 2 + k + 1) 3 (x + k 2 + k + 1) Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 Untuk setiap bilangan bulat positif n

About these ads

About NICO MATEMATIKA

Welcome to my blog. My name is Nico. Admin of this blog. I am a student majoring in mathematics who dreams of becoming a professor of mathematics. I live in Kwadungan, Ngawi, East Java. Hopefully in all the posts I can make a good learning material to the intellectual life of the nation. After the read, leave a comment. I always accept criticism suggestion to build a better me again .. Thanks for visiting .. : mrgreen:

Posted on July 2, 2011, in education and tagged , , , . Bookmark the permalink. 10 Comments.

  1. bagaimana kalau soalnya (n¦0)+(n¦2)+(n¦4)+⋯+(n¦2r)+..=2^(n-1)

  2. Tengkyu ilmunya…
    Sangat-sangat membantu… :D

  3. thanks.. ilmunya dah dibagi-bagi.. aku. baru ngerti ni stelah baca blog..ni. skli lagi thanks yaaa..

  4. makasii atas infonya yang sangat bermanfaat
    izin share ya :)

  5. mau minta tolong,
    ∀ n ∈ N,2^n>n
    ∀ n ∈ N,2 ≤ 2^n

    buktikan dengan induksi

  6. nice blog… thanks sudah membantu….

  7. haduh pusing klo itung-itungan, dulu ga ngerti sekarang ga bisa

  1. Pingback: daftar isi « matematika blog for education

LEAVE A COMMENT IN HERE. COMMENTING IN HERE IS ALWAYS AUTO APPROVE. PLEASE NO SPAM!!! BECAUSE I HATE SPAM... THANKS A LOT..... :mrgreen:

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1,778 other followers

%d bloggers like this: