PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

Signature of 17-year-old Gauß of about 1794

Image via Wikipedia

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5
x1 − 5x2 + 2x3 = 7
2x1 + x2 − 3x3 = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut

\begin{bmatrix}<br />
3 & 4 & -2 & 5\\<br />
1 & -5 & 2 & 7\\<br />
2 & 1 & -3 & 9\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.

Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0

Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , … , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks


Bentuk Eselon-baris

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1

\begin{bmatrix}<br />
1 & 4 & -2 & 5\\<br />
0 & -5 & 2 & 7\\<br />
0 & 0 & -3 & 9\\<br />
0 & 0 & -8 & 8\\<br />
\end{bmatrix}” /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p style=syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

\begin{bmatrix}<br />
1 & 4 & -2 & 5\\<br />
0 & -5 & 2 & 7\\<br />
0 & 0 & -3 & 9\\<br />
0 & 0 & 0 & 0\\<br />
\end{bmatrix}” /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p style=syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

\begin{bmatrix}<br />
1 & 4 & -2 & 5\\<br />
0 & 1 & 2 & 7\\<br />
0 & 0 & -3 & 9\\<br />
0 & 0 & 0 & 0\\<br />
\end{bmatrix}” /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p style=syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi

\begin{bmatrix}<br />
1 & 0 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 0 & 1\\<br />
\end{bmatrix}” /> <img src=Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

\begin{bmatrix}<br />
1 & 2 & 1 & 6\\<br />
1 & 3 & 2 & 9\\<br />
2 & 1 & 2 & 12\\<br />
\end{bmatrix}” /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p style=Operasikan Matriks tersebut

\begin{bmatrix}<br />
1 & 2 & 1 & 6\\<br />
0 & 1 & 1 & 3\\<br />
2 & 1 & 2 & 12\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke 2 dikurangi baris ke 1</p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & 2 & 1 & 6\\<br />
0 & 1 & 1 & 3\\<br />
0 & -3 & 0 & 0\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1</p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & 2 & 1 & 6\\<br />
0 & 1 & 1 & 3\\<br />
0 & 0 & 3 & 9\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2</p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & 2 & 1 & 6\\<br />
0 & 1 & 1 & 3\\<br />
0 & 0 & 1 & 3\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi <em>Eselon-baris</em>)</p>
<p style=Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6
y + z = 3
z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z = 6
x + 0 + 3 = 6
x = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

\begin{bmatrix}<br />
1 & 2 & 3 & 3\\<br />
2 & 3 & 2 & 3\\<br />
2 & 1 & 2 & 5\\<br />
\end{bmatrix}” /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p style=Operasikan Matriks tersebut

\begin{bmatrix}<br />
1 & 2 & 3 & 3\\<br />
0 & -1 & -4 & -3\\<br />
2 & 1 & 2 & 5\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1</p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & 2 & 3 & 3\\<br />
0 & -1 & -4 & -3\\<br />
0 & -3 & -4 & -1\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1</p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & 2 & 3 & 3\\<br />
0 & -1 & -4 & -3\\<br />
0 & 0 & 8 & 8\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2</p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & 2 & 3 & 3\\<br />
0 & 1 & 4 & 3\\<br />
0 & 0 & 1 & 1\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1</p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & 2 & 3 & 3\\<br />
0 & 1 & 0 & -1\\<br />
0 & 0 & 1 & 1\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3</p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & 2 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0 & -1\\<br />
0 & 0 & 1 & 1\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3</p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & 0 & 0 & 2\\<br />
0 & 1 & 0 & -1\\<br />
0 & 0 & 1 & 1\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi <em>Eselon-baris tereduksi</em>)</p>
<p style=Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1

RELATED POST ::
About these ads

About NICO MATEMATIKA

Welcome to my blog. My name is Nico. Admin of this blog. I am a student majoring in mathematics who dreams of becoming a professor of mathematics. I live in Kwadungan, Ngawi, East Java. Hopefully in all the posts I can make a good learning material to the intellectual life of the nation. After the read, leave a comment. I always accept criticism suggestion to build a better me again .. Thanks for visiting .. : mrgreen:

Posted on August 2, 2011, in education and tagged , , . Bookmark the permalink. 14 Comments.

  1. Evans Stevans

    pusinnnggggggggg

  2. Evans Stevans

    yang punya blog ini pasti kepalanya botak hehehehe… tp saya tetap gak negrtiiiiii ?????????

  3. aku tu bingung.bagaimana metode gaus,yang buat blog nya siapa toh?bisa konfirmasi?

  4. Olivi Zaynee Carolina

    bantuin aku bikin soal napa ,
    yang tentukan determinan dari matriks
    2 aja cukup kok ,;(

  5. nice inpoh kk…. tapi ga bisa didonlot documenya… mau aq print… no copas juga….

  6. kurang banyak kk contoh na :D

  7. itu pakai latex kan ya buat equationnya? Salam kenal ya..

  8. Waduh tambah mumet aku kalo ketemu soal matematika…

  1. Pingback: daftar isi « matematika blog for education

LEAVE A COMMENT IN HERE. COMMENTING IN HERE IS ALWAYS AUTO APPROVE. PLEASE NO SPAM!!! BECAUSE I HATE SPAM... THANKS A LOT..... :mrgreen:

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1,779 other followers

%d bloggers like this: