MATRIKS

Operasi Dalam Matriks


Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.

Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :

a.) A + B = B + A
b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar

Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + aip bpj

Matriks Balikan (Invers)


JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}” /> dapat di-<em>invers</em> apabila ad – bc ≠ 0</p>
<p style=Dengan Rumus =

A^{-1} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix}<br />
d & -b \\<br />
-c & a \\<br />
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}<br />
\frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\<br />
-\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) − 1 = B − 1A − 1

Contoh 1:

Matriks

A = \begin{bmatrix}<br />
2 & -5 \\<br />
-1 & 3 \\<br />
\end{bmatrix}” /> dan B = <img src=Maka dapat dituliskan bahwa B = A − 1 (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2:

Matriks

A = \begin{bmatrix}<br />
1 & 1 \\<br />
3 & 4 \\<br />
\end{bmatrix}” /> dan B = <img src=Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 3:

Matriks

A = \begin{bmatrix}<br />
3 & 1 \\<br />
5 & 2 \\<br />
\end{bmatrix}” /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p style=Tentukan Nilai dari A-1

Jawab:

A^{-1} =\frac{1} {(3)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix}<br />
2 & -1 \\<br />
-5 & 3 \\<br />
\end{bmatrix} = \frac{1} {6-5}\begin{bmatrix}<br />
2 & -1 \\<br />
-5 & 3 \\<br />
\end{bmatrix} = \frac{1} {1}\begin{bmatrix}<br />
2 & -1 \\<br />
-5 & 3 \\<br />
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}<br />
2 & -1 \\<br />
-5 & 3 \\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=Contoh 4:

Matriks

A = \begin{bmatrix}<br />
1 & 2 \\<br />
1 & 3 \\<br />
\end{bmatrix}” />, B = <img src=Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan

A^{-1} = \begin{bmatrix}<br />
3 & -2 \\<br />
-1 & 1 \\<br />
\end{bmatrix}” />, <img src=Maka

B^{-1} A^{-1}= \begin{bmatrix}<br />
1 & -1 \\<br />
-1 & \frac{3} {2} \\<br />
\end{bmatrix}” /><img src=Ini membuktikan bahwa (AB) − 1 = B − 1A − 1

Transpose Matriks


Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.

Contoh:

Matriks

A = \begin{bmatrix}<br />
2 & -5 & 1\\<br />
-1 & 3 & 3\\<br />
5 & 4 & 8\\<br />
\end{bmatrix}” /> ditranspose menjadi A<sup>T</sup> = <img src=Matriks

B = \begin{bmatrix}<br />
1 & 3 & 5 & 7\\<br />
9 & 5 & 7 & 4\\<br />
4 & 1 & 5 & 3\\<br />
\end{bmatrix}” /> ditranspose menjadi B<sup>T</sup> = <img src=Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:

1. ((A)T)T = A
2. (A + B)T = AT + BT dan (AB)T = ATBT
3. (kA)T = kAT dimana k adalah skalar
4. (AB)T = BTAT

Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris


Matriks Diagonal

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :

\begin{bmatrix}<br />
1 & 0\\<br />
0 & -5\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & -5 & 0\\<br />
0 & 0 & 1\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & 0 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 0 & 1\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai

\begin{bmatrix}<br />
d_1 & 0 & \cdots & 0\\<br />
0 & d_2 & \cdots & 0\\<br />
\vdots & \vdots &  & \vdots\\<br />
0 & 0 & \cdots & d_n\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :

D − 1=\begin{bmatrix}<br />
1/d_1 & 0 & \cdots & 0\\<br />
0 & 1/d_2 & \cdots & 0\\<br />
\vdots & \vdots &  & \vdots\\<br />
0 & 0 & \cdots & 1/d_n\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=DD − 1 = D − 1D = I

jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka

Dk=\begin{bmatrix}<br />
d_1^k & 0 & \cdots & 0\\<br />
0 & d_2^k & \cdots & 0\\<br />
\vdots & \vdots &  & \vdots\\<br />
0 & 0 & \cdots & d_n^k\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=Contoh :

A=\begin{bmatrix}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & -3 & 0\\<br />
0 & 0 & 2\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=maka

A5=\begin{bmatrix}<br />
1 & 0 & 0\\<br />
0 & -243 & 0\\<br />
0 & 0 & 32\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<hr />
<h5 style=Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.

Matriks segitiga

\begin{bmatrix}<br />
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\<br />
0 & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\<br />
0 & 0 & a_{33} & a_{34}\\<br />
0 & 0 & 0 & a_{44}\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=Matriks segitiga bawah

\begin{bmatrix}<br />
a_{11} & 0 & 0 & 0\\<br />
a_{21} & a_{22} & 0 & 0\\<br />
a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0\\<br />
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=Teorema

  • Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
  • Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
  • Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
  • Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

Contoh :

Matriks segitiga yang bisa di invers

A =\begin{bmatrix}<br />
1 & 3 & -1\\<br />
0 & 2 & 4\\<br />
0 & 0 & 5\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=Inversnya adalah

A − 1=\begin{bmatrix}<br />
1 & -3/2 & 7/5\\<br />
0 & 1/2 & -2/5\\<br />
0 & 0 & 1/5\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=Matriks yang tidak bisa di invers

B =\begin{bmatrix}<br />
3 & -2 & 2\\<br />
0 & 0 & -1\\<br />
0 & 0 & 1\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<hr />
<h5 style=Matriks Simetris

Matriks kotak A disebut simetris jika A = AT

Contoh matriks simetris

\begin{bmatrix}<br />
7 & -3 \\<br />
-3 & 5 \\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & 4 & 5\\<br />
4 & -3 & 0\\<br />
5 & 0 & 7\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=Teorema

  • Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka

AT adalah simetris A + B dan A – B adalah simetris kA adalah simetris (AB)T = BTAT = BA

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A − 1 adalah matriks simetris.

Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = AT maka :

(A − 1)T = (AT) − 1 = A − 1

Yang mana membuktikan bahwa A − 1 adalah simetris.

Produk AAT dan ATA

(AAT)T = (AT)TAT = AAT dan (ATA)T = AT(AT)T = ATA

Contoh

A adalah matriks 2 X 3

A = \begin{bmatrix}<br />
1 & -2 & 4\\<br />
3 & 0 & -5\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=lalu

ATA = \begin{bmatrix}<br />
1 & 3 \\<br />
-2 & 0\\<br />
4 & -5 \\<br />
\end{bmatrix}” /><img src=AAT = \begin{bmatrix}<br />
1 & -2 & 4\\<br />
3 & 0 & -5\\<br />
\end{bmatrix}” /><img src=Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka AAT dan ATA juga bisa di inverse

RELATED POST ::

About these ads

About NICO MATEMATIKA

Welcome to my blog. My name is Nico. Admin of this blog. I am a student majoring in mathematics who dreams of becoming a professor of mathematics. I live in Kwadungan, Ngawi, East Java. Hopefully in all the posts I can make a good learning material to the intellectual life of the nation. After the read, leave a comment. I always accept criticism suggestion to build a better me again .. Thanks for visiting .. : mrgreen:

Posted on August 3, 2011, in education and tagged , , , . Bookmark the permalink. 3 Comments.

  1. ada yang tentang integral ngga?

  1. Pingback: daftar isi « matematika blog for education

LEAVE A COMMENT IN HERE. COMMENTING IN HERE IS ALWAYS AUTO APPROVE. PLEASE NO SPAM!!! BECAUSE I HATE SPAM... THANKS A LOT..... :mrgreen:

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1,779 other followers

%d bloggers like this: