DETERMINAN MATRIKS

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A2×2

A = \begin{bmatrix}<br />
a & b\\<br />
c & d\\<br />
\end{bmatrix}” /> tentukan determinan A</dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p><span id=untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad – bc

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor


 Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = \begin{bmatrix}<br />
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\<br />
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\<br />
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\<br />
\end{bmatrix}” /> tentukan determinan A</dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>Pertama buat minor dari a<sub>11</sub></p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd>M<sub>11</sub> = <img src= – 2\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) – 2(-8) + 3(-7) = -8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A3×3

A = \begin{bmatrix}<br />
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\<br />
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\<br />
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\<br />
\end{bmatrix}” /></dd>
</dl>
</dd>
</dl>
<p>maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,</p>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd>det(A) = a<sub>11</sub><img src= – 4\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) – 4(-8) + 3(-7) = 8

Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A3×3

A = \begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&4&0\\ \end{bmatrix}

Kofaktor dari matriks A adalah

C11 = -12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16

maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

\begin{bmatrix} 12&6&-16\\ 4&2&16\\ 12&-10&16\\ \end{bmatrix}

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom

adj(A) = \begin{bmatrix} 12&4&12\\ 6&2&-10\\ -16&16&16\\ \end{bmatrix}

Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}

Contoh

\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix} = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

X_{1} =  \frac{det(A_{1})} {det(A)},  X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... ,  X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b

Contoh soal:

Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 – 2x2 + 3x3 = 8

Jawab:

bentuk matrik A dan b

A = \begin{bmatrix}<br />
1 & 0 & 2\\<br />
-3 & 4 & 6\\<br />
-1 & -2 & 3\\<br />
\end{bmatrix}” /> b = <img src=

kemudian ganti kolom j dengan matrik b

A1 = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix} A2 = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix} A3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas

maka,

 x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}
 x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}
 x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}

Tes Determinan untuk Invertibilitas

Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E1,E2,…,Er menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A. Maka,

R=ErE2 E1 Adan,

det(R)=det(Er)…det(E2)det(E1)det(EA)Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.

Contoh Soal :

A=\begin{bmatrix}<br />
1 &  2 &  3\\<br />
1 &  0 &  1\\<br />
2 &  4 &  6\\<br />
\end{bmatrix}” />karena det(<em>A</em>) = 0. Maka <em>A</em> adalah dapat diinvers.</p>
<h3>Mencari determinan dengan cara Sarrus</h3>
<dl>
<dd>
<dl>
<dd>A = <img src=

dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A

det(A) = 64

A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A) = \frac{1}{64} \begin{bmatrix}<br />
12 &  4 &  12\\<br />
6 &  2 & -10\\<br />
-16 & 16 &  16\\<br />
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}<br />
\frac{12}{64} & \frac{4}{64}  &  \frac{12}{64}\\<br />
\frac{6}{64}  & \frac{2}{64}  & -\frac{10}{64}\\<br />
-\frac{16}{64} & \frac{16}{64} &  \frac{16}{64}\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<h3>Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx</h3>
<p>dalam sistem aljabar linear sering ditemukan</p>
<pre>      <em>A</em>x = <em>λ</em>x    ; dimana λ adalah skalar</pre>
<p>sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi</p>
<pre>      (<em>λ</em><em>I - A) x = 0 </em></pre>
<p>contoh:</p>
<p>diketahui persamaan linear</p>
<pre>x<span class=1+3x2= λx1 4x1+2x2=λx2

dapat ditulis dalam bentuk

\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}

 = λ

\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}

yang kemudian dapat diubah

A =\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}dan x =\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}

yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi

     λ

\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}

     λ

\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}

sehingga didapat bentuk

     λ I - A =

\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}

namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi

     detI - A) = 0  ;λ adalah eigenvalue dari A

dan dari contoh diperoleh

     detI - A) =

\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}

 = 0

atau λ^2 – 3λ – 10 = 0

dan dari hasil faktorisasi di dapat λ1 = -2 dan λ2 = 5

dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I – A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh

\begin{bmatrix} -3 & -3\\ -4 & -4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}

dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t

      x = \begin{bmatrix} -t\\ t\\ \end{bmatrix}
About these ads

About NICO MATEMATIKA

Welcome to my blog. My name is Nico. Admin of this blog. I am a student majoring in mathematics who dreams of becoming a professor of mathematics. I live in Kwadungan, Ngawi, East Java. Hopefully in all the posts I can make a good learning material to the intellectual life of the nation. After the read, leave a comment. I always accept criticism suggestion to build a better me again .. Thanks for visiting .. : mrgreen:

Posted on August 4, 2011, in education and tagged , , , . Bookmark the permalink. 15 Comments.

  1. Wow, superb blog layout! How long have you been blogging for?

    you made blogging look easy. The overall look of your web site
    is great, let alone the content!

  2. Reiza Anastasia

    Hello, saya ingin bertanya. Apakah ada penyelesaian determinan berordo 3×2? karena saya kemarin menemukan soal seperti itu pada ujian SBMPTN 2013 mata ujian Matematika Dasar. Mohon penjelasannya. Karena saya sangat bingung. Trims. GBU -inez-

  3. thanks nico,
    semoga sukses, , ,

  4. sam ubiet slalu ingin blajar

    Mkasich bangEt..
    qW blajar jdi mudah..
    sUkses slaLu..

  5. mas kalaw maw mencari determinan untuk matrx 7×7 gimana ya?…trus metode apa yg digunakan?

  6. Tidak suka COpy paste

    Yang anda Posting itu, sama persis dari wikipedia,.. ni alamatnya : http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear ,.. masa cuma hanya copy paste aja gan.>>>/????? ,.. ente harus cantumkan daftar pustakanya,.. itu ada hak ciptanya loh,…

  7. good blog mass :)

    mas,saya mau tanya :
    Determinan dengan Minor dan kofaktor

    A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}” /> tentukan determinan A Pertama buat minor dari a11 M11 = <img src= – 2\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) – 2(-8) + 3(-7) = -8

    -8 itu hasil drmn ??

  8. Saya nanti mau ujian materi ini nih minggu depan..
    makasih ya gan..
    tukaran link donk…

  9. Mas Niko
    trims untuk pencerahan matematika nya,
    semoga menjadikan ibadah buata anda.

  10. Dark blogger templates

    Thanks for this detailed report.i really like your writing style

  11. Mantap gan
    gan bleh tukeran link gak gan
    kunjungan balik gan

  1. Pingback: daftar isi « matematika blog for education

LEAVE A COMMENT IN HERE. COMMENTING IN HERE IS ALWAYS AUTO APPROVE. PLEASE NO SPAM!!! BECAUSE I HATE SPAM... THANKS A LOT..... :mrgreen:

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1,778 other followers

%d bloggers like this: