VEKTOR DALAM RUANG EUCLIDE

cos(θ) is the scalar projection of A onto B.

Image via Wikipedia

Euklidian dalam n-Ruang


Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2…..an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.

Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.

Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a1, a2, a3 merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2, …., an) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.

u1 = v1 u2 = v2 un = vn

Penjumlahan u + v didefinisikan oleh


u + v = (u1 + v2, u2 + v2, …., un + vn)

Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh

ku = (k u1, k u2,…,k un)

Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor

0 = (0, 0,…., 0)

Jika u = (u1, u2, …., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh

-u = (-u1, -u2, …., -un)

Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh

v – u = v + (-u)

atau, dalam istilah komponen,

v – u = (v1-u1, v2-u2, …., vn-un)

Sifat-sifat dari vektor dalam Rn

jika \mathbf{u} = u_{1}, u_{2},..., u_{n} , \mathbf{v} = v_{1}, v_{2},..., v_{n} , dan \mathbf{w} = w_{1}, w_{2},..., w_{n} adalah vektor dalam Rn sedangkan k dan m adalah skalar, maka :

(a) u + v = v + u

(b) u + 0 = 0 + u = u

(c) u + (v + w) = (u + v) + w

(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u – u = 0

(e) k (m u) = (k m) u

(f) k (u + v) = k u + k v

(g) (k + m) u = k u + m u

(h) 1u = u

Perkalian dot product \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} didefinisikan sebagai

\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}v_{n}

Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi

  • Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector y = (y1,y2,…,yn) dalam Rn dalam setiap y1,y2,….,yn adalah nilai yang terukur.
  • Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel x = (x1,x2,…,x15) dalam setiap x1 adalah jumlah truk dalam depot pertama dan x2 adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.
  • Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam R4 dan tegangan output bisa ditulis sebagaiR3. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input v = (v1,v2,v3,v4) dalam R4 ke vector keluaran w = (w1,w2,w3) dalamR3.
  • Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v = (x,y,h,s,b) dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
  • Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel s = (s1,s2,s3,…,s10) dalam setiap angka s1,s2,…,s10 adalah output dari sektor individual.
  • Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalahx1,x2,…,x6 dan kecepatan mereka adalah v1,v2,…,v6. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector

V = (x1,x2,x3,x4,x5,x6,v1,v2,v3,v4,v5,v6,t) Dalam R13. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.

  • Fisika – Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi

Menemukan normal dan jarak


Menghitung Panjang vektor u dalam ruang Rn

jika u = (u1,u2,u3,…,un)

Maka Panjang vektor u

|\bar{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + . . . + u_n^2}

dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v

d(u,v) = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + (u_3 - v_3)^2 + . . . + (u_n - v_n)^2}

Bentuk Newton

interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).

Jika kita tuliskan P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0

bentuk equivalentnya : p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)2+p(x)=a1(x-x0)+a0

dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo , sehingga dapat kita tuliskan menjadi

p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0 inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :

p(x0)=b0

p(x1)=b1h1+b0

p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0

p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+b0

sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:

Operator Refleksi

Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:

x1 = -x = -x + 0y

x2 = y = 0x + y

atau dalam bentuk matrik : \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ \end{bmatrix}

Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.

Operator Proyeksi

Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:

x1 = x = x + 0y

x2 = 0 = 0x + y

atau dalam bentuk matrik : \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ \end{bmatrix}

Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah: \begin{bmatrix} T\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}

Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2 dan R3 merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.

Operator Rotasi

Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada R2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w2= r sin (ɵ + ɸ)

Menggunakan identitas trigonometri didapat:

w1 = r cos ɵ cos ɸ – r sin ɵ sin ɸ

w2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ

kemudian disubtitusi sehingga:

w1 = x cos Θ – y sin Θ

w2 = x sin Θ + y cos Θ

Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan diatas adalah: \begin{bmatrix} T\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\Theta & -sin\Theta\\ sin\Theta & cos\Theta\\ \end{bmatrix}

Interpolasi Polinomial


Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x0,y0)…., (xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = amxm + am-1xm − 1 + … + a1x + a0 dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi

\begin{matrix}<br />
{y_0}& = &a_mx_0^m &+& a_{m-1}x_0^{m-1} &+…+& a_1x_0 &+& a_0\\<br />
{y_1}& = &a_mx_1^m &+& a_{m-1}x_1^{m-1} &+…+& a_1x_1 &+& a_0\\<br />
\vdots& &\vdots& &\vdots& &\vdots& &\vdots\\<br />
{y_n}& = &a_mx_n^m &+& a_{m-1}x_n^{m-1} &+…+& a_1x_n &+& a_0\\<br />
\end{matrix}” /></p>
<p style=karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini

\begin{bmatrix}<br />
1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^m\\<br />
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^m\\<br />
\vdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\<br />
1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^m\\<br />
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^m\\<br />
\end{bmatrix}” /><img src=Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):

\begin{bmatrix}<br />
1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n\\<br />
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n\\<br />
\vdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\<br />
1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^n\\<br />
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n\\<br />
\end{bmatrix}” /><img src=Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.

Contoh soal:

Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.

Jawab:

Bentuk Sistem Vandermonde(1):

\begin{bmatrix}<br />
1 & x_0 & x_0^2 & x_0^3\\<br />
1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3\\<br />
1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3\\<br />
1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3\\<br />
\end{bmatrix}” /><img src=Untuk data di atas, kita mempunyai

\begin{bmatrix}<br />
1 & -1 & 1 & -1\\<br />
1 & 0 & 0 & 0\\<br />
1 & 1 & 1 & 1\\<br />
1 & 2 & 4 & 8\\<br />
\end{bmatrix}” /><img src=\begin{bmatrix}<br />
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\<br />
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\<br />
1 & 1 & 1 & 1 & 0\\<br />
1 & 2 & 4 & 8 & 6\\<br />
\end{bmatrix}” /></p>
<p style=Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination

\begin{bmatrix}<br />
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\<br />
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\<br />
0 & 2 & 0 & 2 & 0\\<br />
0 & 3 & 3 & 9 & 6\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama</p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\<br />
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\<br />
0 & 1 & 0 & 1 & 0\\<br />
0 & 1 & 1 & 3 & 2\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3</p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\<br />
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\<br />
0 & 1 & 1 & 3 & 2\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke-3 dikurangi baris ke-2</p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\<br />
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 2 & 2 & 2\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke-4 dikurangi baris ke-2</p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\<br />
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 1 & 1 & 1\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke-4 dibagi dengan 2</p>
<p style=\begin{bmatrix}<br />
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\<br />
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\<br />
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\<br />
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\<br />
\end{bmatrix}” /> Baris ke-4 dikurangi baris ke-3</p>
<p style=Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas

\begin{matrix}<br />
a_0&+&a_1&+&a_2&+&a_3 &=&0\Longleftrightarrow a_0 = 0\\<br />
& &a_1&-&a_2&+&a_3&=&0\Longleftrightarrow a_1 = -1\\<br />
& & & &a_2& & &=&0\\<br />
& & & & & &a_3&=&1\\<br />
\end{matrix}” /></p>
<p style=Jadi, interpolasinya adalah p(x) = x^3 - x\,

RELATED POST ::

About these ads

About NICO MATEMATIKA

Welcome to my blog. My name is Nico. Admin of this blog. I am a student majoring in mathematics who dreams of becoming a professor of mathematics. I live in Kwadungan, Ngawi, East Java. Hopefully in all the posts I can make a good learning material to the intellectual life of the nation. After the read, leave a comment. I always accept criticism suggestion to build a better me again .. Thanks for visiting .. : mrgreen:

Posted on August 5, 2011, in education and tagged , , , . Bookmark the permalink. 8 Comments.

  1. terima kasih atas penjelasannya sobat…

  2. maaf sebelumnya.. saya ingin mengomentari untuk kasus Matriks yang diselesaikan dengan eliminasi gauss jordan di atas… Kiranya saudara mengkaji ulang algoritma yang sudah anda tulis.
    Terima Kasih….

  3. bagaimana kalau soal di bawah ini:
    “Apabila Z adalah bilangan kompleks, maka carilah semua nilai Z yang memenuhi (Z^3)=1″

  4. Mantep juga penjelasan math nya. Bikin pusing tapi agak mengerti

  5. cuma bisa melongo saya mas… maaf karena memang gak mudheng gini liat nya :(

  1. Pingback: daftar isi « matematika blog for education

LEAVE A COMMENT IN HERE. COMMENTING IN HERE IS ALWAYS AUTO APPROVE. PLEASE NO SPAM!!! BECAUSE I HATE SPAM... THANKS A LOT..... :mrgreen:

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1,778 other followers

%d bloggers like this: