PERKALIAN VEKTOR

Parallelepiped volume

Image via Wikipedia

Perkalian vektor adalah operasi perkalian dengan dua operand (obyek yang dikalikan) berupa vektor. Terdapat tiga macam perkalian vektor, yaitu perkalian titik (dot product), perkalian silang (cross product) dan perkalian langsung (direct product).

Perkalian titik

Perkalian titik dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif.

\! \vec{A} \cdot \vec{B} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \cdot  (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})
 = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \!

Untuk vektor satuan terdapat hubungan-hubungan yang khusus dalam operasi perkalian titik, yang merupakan sifat-sifat yang digunakan dalam perkalian titik, yaitu

\hat{i} \cdot \hat{i} = 1
\hat{j} \cdot \hat{j} = 1
\hat{k} \cdot \hat{k} = 1

dan

\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{i} = 0
\hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{j} = 0
\hat{k} \cdot \hat{i} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0

Atau dapat pula dituliskan dengan menggunakan notasi delta Kronecker \!\delta_{mn}, yaitu

\hat{m} \cdot \hat{n} = \delta_{mn}

Perkalian silang

Hasil suatu perkalian silang dua buah vektor adalah juga sebuah vektor. Perkalian silang bersifat tidak komutatif.

\vec{A} \times \vec{B} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \times (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})
 = (a_y b_z - a_z b_y) \hat{i} + (a_z b_x - a_x b_z) \hat{j} + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{k}

Untuk vektor-vektor satuan terdapat pula hubungan yang mendasari operasi perkalian silang, yaitu

\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}
\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}
\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}

dan

\hat{j} \times \hat{i} = - \hat{k}
\hat{k} \times \hat{j} = - \hat{i}
\hat{i} \times \hat{k} = - \hat{j}.

Perkalian langsung

Hasil perkalian langsung dua buah vektor adalah sebuah tensor atau matriks. Perkalian ini tidak bersifat komutatif.

\vec{A} \vec{B} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})
 = \hat{i} (a_x b_x) \hat{i} + \hat{i} (a_x b_y) \hat{j} +  \hat{i} (a_x b_z) \hat{k}
 + \hat{j} (a_y b_x) \hat{i} + \hat{j} (a_y b_y) \hat{j} +  \hat{j} (a_y b_z) \hat{k}
 + \hat{k} (a_z b_x) \hat{i} + \hat{k} (a_z b_y) \hat{j} +  \hat{k} (a_z b_z) \hat{k}

Perkalian langsung dua buah vektor satuan tidak memiliki hubungan yang khusus.

(\hat{a})(\hat{b}) = \hat{a} \hat{b}
\hat{a} \hat{b} \neq \hat{b} \hat{a}
RELATED POST ::
About these ads

About NICO MATEMATIKA

Welcome to my blog. My name is Nico. Admin of this blog. I am a student majoring in mathematics who dreams of becoming a professor of mathematics. I live in Kwadungan, Ngawi, East Java. Hopefully in all the posts I can make a good learning material to the intellectual life of the nation. After the read, leave a comment. I always accept criticism suggestion to build a better me again .. Thanks for visiting .. : mrgreen:

Posted on August 14, 2011, in education and tagged , , , . Bookmark the permalink. 28 Comments.

  1. Cukup mencerahkan.. terima kasih ya

  2. Kak , kalo perkalian silang vektor R2 gimana ya ?

  3. Hey aq liat ni malalahx aq nyontek sbagian tuk mata kuliah aljabar linear

  4. ga ada contoh soalnya mas

  5. mas isinya kok sama kayak di wikipedia yah? tp knapa kok ga dicantumkan sourcenya?

  6. wow
    ini blog bener2 serba Mathematics

  7. Wah ente nak mtk y? Vektor pelajaran dasar dalam mtk tp klo untuk fisika, bsa dilihat dimana2 besaran vektor. dari cros product n dot product. Curl, divergensi, dll. Sampai puyeng liatnya tp asyik. Pengalaman ane dr matematika fisika, listrik magnet, dll. Ane nak fisika :). Oia, link ente dh ane pasang. Lam kenal sesama blogger :)

  8. dari dulu pelajaran matematika paling ngga bisa,pusiiing…
    mantap deh,artikenya….

  9. Hadeh…mumet deh belajar perkalian vektor, wkwkwk… :lol:
    Jadi ingat matkul kalkulus :D
    Ah..tapi syukurnya bisa juga lewatinnya, kyakakak… :lol:

  10. Bab vektor ini penting banget, juga digunakan dalam fisika..
    Ngomong2 mas Nico nie penggila matematika ya… kalau saya sangat gila dengan fisika tapi sampai saat ini belum sempat membuat blog khusus fisika. Salut buat kamu…

  11. Bagus banget blognya karena berisi segala hal yang berbau matematika. Baru kai ini lho saya menjumpai blog yang membahas hitung2ngan. Biasanya yang sering saya jumpai adalah blog yang mengajarkan bahasa inggris. Salut :)

    Btw, bagaimana mengubah font di wordpress ya. Saya jadi penasaran. Karena setahuku untuk yang wordpress kalau ingin berganti2 tulisan harus yang berbayar gitu dan bukan yang gratisan. Soalnya ada juga blogku yang menggunakan wordpress.com

  12. ckckkck keren
    paling pusing mtk dah wkwkwk

  13. penggermar matematika ya bro…….?

  14. I love mathematics… Ijin pasang link sob…

  15. wah matematika semua, @@

  16. blognya orang matematika yah…
    merindiing banget inih.. :(

    tapi salut deh, buat yang berani bereksplorasi dengan matematika di blog..
    salut banget, ini blog matematika pertama yang pernah saya kunjungi..
    dan meninggalkan komentar..

  1. Pingback: daftar isi « matematika blog for education

LEAVE A COMMENT IN HERE. COMMENTING IN HERE IS ALWAYS AUTO APPROVE. PLEASE NO SPAM!!! BECAUSE I HATE SPAM... THANKS A LOT..... :mrgreen:

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1,779 other followers

%d bloggers like this: