GELANGGANG KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN

GELANGGANG KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN

Misalkan B adalah himpunan semua bilangan bulat, dan R = B x B = {(a,b)|a,b bilangan-bilangan bulat}.

Operasi-operasi * dan ◦ pada R didefinisikan oleh :

(a,b) * (c,d) = (a + c, b + d) dan

(a,b) ◦ (c,d) = (ac, bd), (a,b), (c,d) R

Akan dibuktikan bahwa (R,*, ◦) adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan.

Bukti :

(R,*) adalah suatu grup abelian (karena anggota dari R adalah bilangan bulat dan bilangan bulat membentuk grup abelian pada operasi penjumlahan)……………….(*)

(R, ◦) adalah semigrup komutatif dengan elemen satuan.

  1. Closed

    (a,b), (c,d) R,         (a,b) ◦ (c,d)         = (ac, bd) R

  2. Asosiatif

    (a,b), (c,d), (e,f) R,     (a,b) ◦ [(c,d) ◦ (e,f)]     = (a,b) ◦ (ce, df)

                                = (ace, bdf)

                                = (ac, bd) ◦ (e,f)

                                = [(a,b) ◦ (c,d)] ◦ (e,f)

  3. Komutatif

    (a,b), (c,d) R,        (a,b) ◦ (c,d)         = (ac, bd)

                                = (ca, db)

                                = (c,d) ◦ (a,b)

  4. Elemen satuan

    (a,b), (1,1) R,        (a,b) ◦ (1,1)         = (a1, b1)

                                = (a,b)

Jadi, (R, ◦) adalah semigrup komutatif dengan elemen satuan………….(**)

Sifat Distributif

  1. Sifat Distributif Kanan

    (a,b), (c,d), (e,f) R,    (a,b) ◦ [(c,d) * (e,f)]    = (a,b) ◦ (c + e, d + f)

                                = (ac + ae, bd + bf)

                                = (ac, bd) * (ae, bf)

                                = [(a,b) ◦ (c,d)] * [(a,b) ◦ (e,f)]

  1. Sifat Distributif Kiri

    (a,b), (c,d), (e,f) R,    [(c,d) * (e,f)] ◦ (a,b)    = (c + e, d + f) ◦ (a,b)

                                = (ca + ea, db + fb)

                                = (ca, db) * (ea, fb)

                                = [(c,d) ◦ (a,b)] * [(e,f) ◦ (a,b)]

Jadi, sifat distributif kanan dan distributif kiri dipenuhi…….(***)

Berdasarkan (*), (**), dan (***) maka terbukti bahwa (R,*, ◦) adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan.

GELANGGANG KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN

Misalkan C = {(a,b)| a,b bilangan-bilangan bulat}.

Operasi penjumlahan dan perkalian pada C didefinisikan sebagai berikut :

(a,b), (c,d) C,

(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) dan

(a,b) ∙ (c,d) = (ac – bd, ad + bc)

Akan dibuktikan bahwa (C,+, ∙) adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan.

Bukti :

(C,+) adalah suatu grup abelian (karena anggota dari C adalah bilangan bulat dan bilangan bulat membentuk grup abelian pada operasi penjumlahan)……………….(*)

(C, ∙) adalah semigrup komutatif dengan elemen satuan.

  1. Closed

    (a,b), (c,d) C,     (a,b) ∙ (c,d)         = (ac – bd, ad + bc) C

  2. Asosiatif

    (a,b), (c,d), (e,f) C, (a,b) ∙ [(c,d) ∙ (e,f)]     = (a,b) ∙ (ce – df, cf + de)

                            = (a(ce–df)–b(cf+de), a(cf+de)+b(ce–df))

                            = (ace-adf-bcf-bde, acf+ade+bce-bdf)

                            = (ace–bde-adf-bcf, acf-bdf+ade+bce)

                            = ((ac-bd)e-(ad+bc)f, (ac-bd)f +(ad-bc)e)

                            = (ac – bd, ad + bc) ∙ (e,f)

                            = [(a,b) ∙ (c,d)] ∙ (e,f)

  3. Komutatif

    (a,b), (c,d) C,    (a,b) ∙ (c,d)         = (ac – bd, ad + bc)

                            = (ca – db, bc + ad)

                            = (ca – db, cb + da)

                            = (c,d) ∙ (a,b)

  4. Elemen satuan

    (a,b), (1,0) C,    (a,b) ∙ (1,0)         = (a1 – b0,a0 + b1)

                            = (a,b)

Jadi, (C, ∙) adalah semigrup komutatif dengan elemen satuan………….(**)

Sifat Distributif

  1. Sifat Distributif Kanan

    (a,b), (c,d), (e,f) C,(a,b) ∙ [(c,d) + (e,f)]    = (a,b) ∙ (c + e, d + f)

                            = (a(c+e)-b(d+f), a(d+f)+b(c+e))

                            = (ac+ae-bd-bf, ad+af+bc+be)

                            = (ac-bd+ae-bf, ad+bc+af+be)

                            = (ac-bd, ad+bc) + (ae-bf, af+be)

                            = [(a,b) ∙ (c,d)] + [(a,b) ∙ (e,f)]

  1. Sifat Distributif Kiri

    (a,b), (c,d), (e,f) C, [(c,d) + (e,f)] ∙ (a,b)    = (c + e, d + f) ∙ (a,b)

                            = ((c+e)a-(d+f)b, (c+e)b+(d+f)a)

                            = (ca+ea-db-fb, cb+eb+da+fa)

                            = (ca-db+ea-fb, cb+da+eb+fa)

                            = (ca-db, cb+da) + (ea-fb, eb-fa)

                            = [(c,d) ∙ (a,b)] + [(e,f) ∙ (a,b)]

Jadi, sifat distributif kanan dan distributif kiri dipenuhi…….(***)

Berdasarkan (*), (**), dan (***) maka terbukti bahwa (C,+, ∙) adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan.

Evaluasi :

Diketahui (R, +, x) adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan.

Operasi-operasinya didefinisikan sebagai berikut :

(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

(a,b) x (c,d) = (ad, bc)

Tentukan elemen satuannya!

Elemen satuan

(a,b), (1,1) R,    (a,b) ∙ (1,1)     = (a1, b1)

                = (a,b)


About NICO MATEMATIKA

Welcome to my blog. My name is Nico. Admin of this blog. I am a student majoring in mathematics who dreams of becoming a professor of mathematics. I live in Kwadungan, Ngawi, East Java. Hopefully in all the posts I can make a good learning material to the intellectual life of the nation. After the read, leave a comment. I always accept criticism suggestion to build a better me again .. Thanks for visiting .. : mrgreen:

Posted on February 6, 2013, in STRUKTUR ALJABAR. Bookmark the permalink. Leave a comment.

LEAVE A COMMENT IN HERE. COMMENTING IN HERE IS ALWAYS AUTO APPROVE. PLEASE NO SPAM!!! BECAUSE I HATE SPAM... THANKS A LOT..... :mrgreen:

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: