GELANGGANG KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN

GELANGGANG KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN

Misalkan B adalah himpunan semua bilangan bulat, dan R = B x B = {(a,b)|a,b bilangan-bilangan bulat}.

Operasi-operasi * dan ◦ pada R didefinisikan oleh :

(a,b) * (c,d) = (a + c, b + d) dan

(a,b) ◦ (c,d) = (ac, bd), (a,b), (c,d) R

Akan dibuktikan bahwa (R,*, ◦) adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan.

Bukti :

(R,*) adalah suatu grup abelian (karena anggota dari R adalah bilangan bulat dan bilangan bulat membentuk grup abelian pada operasi penjumlahan)……………….(*)

(R, ◦) adalah semigrup komutatif dengan elemen satuan.

1. Closed
   

   (a,b), (c,d) R,         (a,b) ◦ (c,d)         = (ac, bd) R
   

2. Asosiatif
   

   (a,b), (c,d), (e,f) R,     (a,b) ◦ [(c,d) ◦ (e,f)]     = (a,b) ◦ (ce, df)
   

                               = (ace, bdf)
   

                               = (ac, bd) ◦ (e,f)
   

                               = [(a,b) ◦ (c,d)] ◦ (e,f)
   

3. Komutatif
   

   (a,b), (c,d) R,        (a,b) ◦ (c,d)         = (ac, bd)
   

                               = (ca, db)
   

                               = (c,d) ◦ (a,b)
   

4. Elemen satuan
   

   (a,b), (1,1) R,        (a,b) ◦ (1,1)         = (a1, b1)
   

                               = (a,b)
   

Jadi, (R, ◦) adalah semigrup komutatif dengan elemen satuan………….(**)

Sifat Distributif

1. Sifat Distributif Kanan
   

   (a,b), (c,d), (e,f) R,    (a,b) ◦ [(c,d) * (e,f)]    = (a,b) ◦ (c + e, d + f)
   

                                = (ac + ae, bd + bf)

                                = (ac, bd) * (ae, bf)

                                = [(a,b) ◦ (c,d)] * [(a,b) ◦ (e,f)]

1. Sifat Distributif Kiri
   

   (a,b), (c,d), (e,f) R,    [(c,d) * (e,f)] ◦ (a,b)    = (c + e, d + f) ◦ (a,b)
   

                               = (ca + ea, db + fb)
   

                               = (ca, db) * (ea, fb)
   

                               = [(c,d) ◦ (a,b)] * [(e,f) ◦ (a,b)]
   

Jadi, sifat distributif kanan dan distributif kiri dipenuhi…….(***)

Berdasarkan (*), (**), dan (***) maka terbukti bahwa (R,*, ◦) adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan.

GELANGGANG KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN

Misalkan C = {(a,b)| a,b bilangan-bilangan bulat}.

Operasi penjumlahan dan perkalian pada C didefinisikan sebagai berikut :

(a,b), (c,d) C,

(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) dan

(a,b) ∙ (c,d) = (ac – bd, ad + bc)

Akan dibuktikan bahwa (C,+, ∙) adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan.

Bukti :

(C,+) adalah suatu grup abelian (karena anggota dari C adalah bilangan bulat dan bilangan bulat membentuk grup abelian pada operasi penjumlahan)……………….(*)

(C, ∙) adalah semigrup komutatif dengan elemen satuan.

1. Closed
   

   (a,b), (c,d) C,     (a,b) ∙ (c,d)         = (ac – bd, ad + bc) C
   

2. Asosiatif
   

   (a,b), (c,d), (e,f) C, (a,b) ∙ [(c,d) ∙ (e,f)]     = (a,b) ∙ (ce – df, cf + de)
   

                           = (a(ce–df)–b(cf+de), a(cf+de)+b(ce–df))
   

                           = (ace-adf-bcf-bde, acf+ade+bce-bdf)
   

                           = (ace–bde-adf-bcf, acf-bdf+ade+bce)
   

                           = ((ac-bd)e-(ad+bc)f, (ac-bd)f +(ad-bc)e)
   

                           = (ac – bd, ad + bc) ∙ (e,f)
   

                           = [(a,b) ∙ (c,d)] ∙ (e,f)
   

3. Komutatif
   

   (a,b), (c,d) C,    (a,b) ∙ (c,d)         = (ac – bd, ad + bc)
   

                           = (ca – db, bc + ad)
   

                           = (ca – db, cb + da)
   

                           = (c,d) ∙ (a,b)
   

4. Elemen satuan
   

   (a,b), (1,0) C,    (a,b) ∙ (1,0)         = (a1 – b0,a0 + b1)
   

                           = (a,b)
   

Jadi, (C, ∙) adalah semigrup komutatif dengan elemen satuan………….(**)

Sifat Distributif

1. Sifat Distributif Kanan
   

   (a,b), (c,d), (e,f) C,(a,b) ∙ [(c,d) + (e,f)]    = (a,b) ∙ (c + e, d + f)
   

                            = (a(c+e)-b(d+f), a(d+f)+b(c+e))

                            = (ac+ae-bd-bf, ad+af+bc+be)

                            = (ac-bd+ae-bf, ad+bc+af+be)

                            = (ac-bd, ad+bc) + (ae-bf, af+be)

                            = [(a,b) ∙ (c,d)] + [(a,b) ∙ (e,f)]

1. Sifat Distributif Kiri
   

   (a,b), (c,d), (e,f) C, [(c,d) + (e,f)] ∙ (a,b)    = (c + e, d + f) ∙ (a,b)
   

                           = ((c+e)a-(d+f)b, (c+e)b+(d+f)a)
   

                           = (ca+ea-db-fb, cb+eb+da+fa)
   

                           = (ca-db+ea-fb, cb+da+eb+fa)
   

                           = (ca-db, cb+da) + (ea-fb, eb-fa)
   

                           = [(c,d) ∙ (a,b)] + [(e,f) ∙ (a,b)]
   

Jadi, sifat distributif kanan dan distributif kiri dipenuhi…….(***)

Berdasarkan (*), (**), dan (***) maka terbukti bahwa (C,+, ∙) adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan.

Evaluasi :

Diketahui (R, +, x) adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan.

Operasi-operasinya didefinisikan sebagai berikut :

(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

(a,b) x (c,d) = (ad, bc)

Tentukan elemen satuannya!

Elemen satuan

(a,b), (1,1) R,    (a,b) ∙ (1,1)     = (a1, b1)

                = (a,b)