GELANGGANG KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN
Posted by NICO MATEMATIKA
GELANGGANG KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN
Misalkan B adalah himpunan semua bilangan bulat, dan R = B x B = {(a,b)|a,b bilangan-bilangan bulat}.
Operasi-operasi * dan ◦ pada R didefinisikan oleh :
(a,b) * (c,d) = (a + c, b + d) dan
(a,b) ◦ (c,d) = (ac, bd), (a,b), (c,d)
R
Akan dibuktikan bahwa (R,*, ◦) adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan.
Bukti :
(R,*) adalah suatu grup abelian (karena anggota dari R adalah bilangan bulat dan bilangan bulat membentuk grup abelian pada operasi penjumlahan)……………….(*)
(R, ◦) adalah semigrup komutatif dengan elemen satuan.
-
Closed
(a,b), (c,d)
R, (a,b) ◦ (c,d) = (ac, bd)
R
-
Asosiatif
(a,b), (c,d), (e,f)
R, (a,b) ◦ [(c,d) ◦ (e,f)] = (a,b) ◦ (ce, df)
= (ace, bdf)
= (ac, bd) ◦ (e,f)
= [(a,b) ◦ (c,d)] ◦ (e,f)
-
Komutatif
(a,b), (c,d)
R, (a,b) ◦ (c,d) = (ac, bd)
= (ca, db)
= (c,d) ◦ (a,b)
-
Elemen satuan
(a,b), (1,1)
R, (a,b) ◦ (1,1) = (a1, b1)
= (a,b)
Jadi, (R, ◦) adalah semigrup komutatif dengan elemen satuan………….(**)
Sifat Distributif
-
Sifat Distributif Kanan
(a,b), (c,d), (e,f)
R, (a,b) ◦ [(c,d) * (e,f)] = (a,b) ◦ (c + e, d + f)
= (ac + ae, bd + bf)
= (ac, bd) * (ae, bf)
= [(a,b) ◦ (c,d)] * [(a,b) ◦ (e,f)]
-
Sifat Distributif Kiri
(a,b), (c,d), (e,f)
R, [(c,d) * (e,f)] ◦ (a,b) = (c + e, d + f) ◦ (a,b)
= (ca + ea, db + fb)
= (ca, db) * (ea, fb)
= [(c,d) ◦ (a,b)] * [(e,f) ◦ (a,b)]
Jadi, sifat distributif kanan dan distributif kiri dipenuhi…….(***)
Berdasarkan (*), (**), dan (***) maka terbukti bahwa (R,*, ◦) adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan.
GELANGGANG KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN
Misalkan C = {(a,b)| a,b bilangan-bilangan bulat}.
Operasi penjumlahan dan perkalian pada C didefinisikan sebagai berikut :
(a,b), (c,d)
C,
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) dan
(a,b) ∙ (c,d) = (ac – bd, ad + bc)
Akan dibuktikan bahwa (C,+, ∙) adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan.
Bukti :
(C,+) adalah suatu grup abelian (karena anggota dari C adalah bilangan bulat dan bilangan bulat membentuk grup abelian pada operasi penjumlahan)……………….(*)
(C, ∙) adalah semigrup komutatif dengan elemen satuan.
-
Closed
(a,b), (c,d)
C, (a,b) ∙ (c,d) = (ac – bd, ad + bc)
C
-
Asosiatif
(a,b), (c,d), (e,f)
C, (a,b) ∙ [(c,d) ∙ (e,f)] = (a,b) ∙ (ce – df, cf + de)
= (a(ce–df)–b(cf+de), a(cf+de)+b(ce–df))
= (ace-adf-bcf-bde, acf+ade+bce-bdf)
= (ace–bde-adf-bcf, acf-bdf+ade+bce)
= ((ac-bd)e-(ad+bc)f, (ac-bd)f +(ad-bc)e)
= (ac – bd, ad + bc) ∙ (e,f)
= [(a,b) ∙ (c,d)] ∙ (e,f)
-
Komutatif
(a,b), (c,d)
C, (a,b) ∙ (c,d) = (ac – bd, ad + bc)
= (ca – db, bc + ad)
= (ca – db, cb + da)
= (c,d) ∙ (a,b)
-
Elemen satuan
(a,b), (1,0)
C, (a,b) ∙ (1,0) = (a1 – b0,a0 + b1)
= (a,b)
Jadi, (C, ∙) adalah semigrup komutatif dengan elemen satuan………….(**)
Sifat Distributif
-
Sifat Distributif Kanan
(a,b), (c,d), (e,f)
C,(a,b) ∙ [(c,d) + (e,f)] = (a,b) ∙ (c + e, d + f)
= (a(c+e)-b(d+f), a(d+f)+b(c+e))
= (ac+ae-bd-bf, ad+af+bc+be)
= (ac-bd+ae-bf, ad+bc+af+be)
= (ac-bd, ad+bc) + (ae-bf, af+be)
= [(a,b) ∙ (c,d)] + [(a,b) ∙ (e,f)]
-
Sifat Distributif Kiri
(a,b), (c,d), (e,f)
C, [(c,d) + (e,f)] ∙ (a,b) = (c + e, d + f) ∙ (a,b)
= ((c+e)a-(d+f)b, (c+e)b+(d+f)a)
= (ca+ea-db-fb, cb+eb+da+fa)
= (ca-db+ea-fb, cb+da+eb+fa)
= (ca-db, cb+da) + (ea-fb, eb-fa)
= [(c,d) ∙ (a,b)] + [(e,f) ∙ (a,b)]
Jadi, sifat distributif kanan dan distributif kiri dipenuhi…….(***)
Berdasarkan (*), (**), dan (***) maka terbukti bahwa (C,+, ∙) adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan.
Evaluasi :
Diketahui (R, +, x) adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan.
Operasi-operasinya didefinisikan sebagai berikut :
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
(a,b) x (c,d) = (ad, bc)
Tentukan elemen satuannya!
Elemen satuan
(a,b), (1,1)
R, (a,b) ∙ (1,1) = (a1, b1)
= (a,b)
About NICO MATEMATIKA
Welcome to my blog. My name is Nico. Admin of this blog. I am a student majoring in mathematics who dreams of becoming a professor of mathematics. I live in Kwadungan, Ngawi, East Java. Hopefully in all the posts I can make a good learning material to the intellectual life of the nation. After the read, leave a comment. I always accept criticism suggestion to build a better me again .. Thanks for visiting .. : mrgreen:Posted on February 6, 2013, in STRUKTUR ALJABAR. Bookmark the permalink. Leave a comment.
Leave a comment
Comments 0