METODE NEWTON

NICO FOR MATH

Dalam analisis numerik, metode Newton (juga dikenal sebagai metode Newton-Raphson), yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson, merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil. Metode Newton sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai “cukup dekat” dengan akar yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini dapat meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan mengatasi kegagalan konvergensi.

Diketahui fungsi ƒ(x) dan turunannya ƒ ‘(x), kita memulai dengan tebakan pertama, x₀ .   Hampiran yang lebih baik x₁ adalah

OPTIMISASI

Image via Wikipedia

Optimisasi ialah suatu proses untuk mencapai hasil yang ideal atau optimal (nilai efektif yang dapat dicapai). Dalam disiplin matematika optimisasi merujuk pada studi permasalahan yang mencoba untuk mencari nilai minimal atau maximal dari suatu fungsi riil. Untuk dapat mencapai nilai optimal baik minimal atau maximal tersebut, secara sistimatis dilakukan pemilihan nilai variabel bilangan bulat atau riil yang akan memberikan solusi optimal. Permasalahan ini dapat direpresentasikan dalam notasi matematis sebagai berikut :

Berdasarkan: fungsi f : A R dari himpunan A ke himpunan bilangan riil

Cari: sebuah elemen x₀ dalam A sedemikian sehingga :

• f(x₀) ≤ f(x) untuk semua x dalam A, untuk proses minimalisasi
• f(x₀) ≥ f(x) untuk semua x dalam A, untuk proses maximalisasi

Perumusan yang telah diuraikan diatas adalah perumusan permasalahan optimisasi, atau sering disebut juga permasalahan pemrograman matematis, salah satu bentuk dari pemrograman linear. Banyak masalah dalam dunia nyata yang dapat direpresentasikan dalam kerangka permasalahan ini.

Pada umumnya A adalah himpunan bagian dari Ruang Euclid Rⁿ. Biasanya juga ada syarat-syarat tertentu (kendala atau constraint) berupa persamaan atau ketidaksamaan yang harus dipenuhi oleh elemen dari A. Elemen dari A biasa disebut sebagai solusi yang mungkin (feasible solution), sementara fungsi f biasa disebut sebagai fungsi objektif atau fungsi biaya. Di antara solusi yang mungkin, terdapat solusi yang dapat meminimalkan atau memaksimalkan fungsi objektif, solusi yang demikian ini disebut sebagai solusi optimal.

Domain dari A disebut sebagai ruang pencarian sementara elemen dari A disebut sebagai kandidat solusi, atau solusi yang mungkin.

ANALISIS NUMERIK

Analisis numerik adalah studi algoritma untuk memecahkan masalah dalam matematika kontinu (sebagaimana dibedakan dengan matematika diskret)

Salah satu tulisan matematika terdini adalah tablet Babilonia YBC 7289, yang memberikan hampiran numerik seksagesimal dari , panjang diagonal dari persegi satuan.^[1]

Kemampuan untuk dapat menghitung sisi segitiga (dan berarti mampu menghitung akar kuadrat) sangatlah penting, misalnya, dalam pertukangan kayu dan konstruksi.^[2]

Analisis numerik melanjutkan tradisi panjang perhitungan praktis matematika ini. Seperti hampiran orang Babilonia terhadap , analisis numerik modern tidak mencari jawaban eksak, karena jawaban eksak dalam prakteknya tidak mungkin diperoleh. Sebagai gantinya, kebanyakan analisis numerik memperhatikan bagaimana memperoleh pemecahan hampiran, dalam batas galat yang beralasan.

ANALISIS RIIL 2

Setelah belajar tentang Analisis Riil 1, Skarang sudah saatnya kita pelajari tentang analisis riil 2.

Analisis riil merupakan cabang dari analisis matematika yang membahas himpunan bilangan riil dan fungsi-fungsi dalam bilangan riil. Analisis riil dapat dianggap sebagai kalkulus yang lebih mendalam, dan juga pembahasan secara lebih mendalam mengenai konsep barisan dan limit, kekontinuan, turunan, integral, dan barisan dari fungsi-fungsi.

Penjelasan analisis riil pada buku-buku pelajaran tingkat lanjut biasanya dimulai dengan pembuktian sederhana mengenai teori dasar himpunan, pendefinisian konsep-konsep fungsi yang jelas, dan pengenalan kepada bilangan-bilangan asli dan pentingnya teknik pembuktian menggunakan induksi matematika.

Dimension

Image via Wikipedia

The dimension of the column space is called the rank of the matrix. The rank is equal to the number of pivots in the reduced row echelon form, and is the maximum number of linearly independent columns that can be chosen from the matrix. For example, the 4 × 4 matrix in the example above has rank three.

Because the column space is the image of the corresponding matrix transformation, the rank of a matrix is the same as the dimension of the image. For example, the transformation R⁴ → R⁴ described by the matrix above maps all of R⁴ to some three-dimensional subspace.

The nullity of a matrix is the dimension of the null space, and is equal to the number of columns in the reduced row echelon form that do not have pivots.^[3] The rank and nullity of a matrix A with n columns are related by the equation:

This is known as the rank-nullity theorem.

Basis

Image via Wikipedia

The columns of A span the column space, but they may not form a basis if the column vectors are not linearly independent. Fortunately, elementary row operations do not affect the dependence relations between the column vectors. This makes it possible to use row reduction to find a basis for the column space.

For example, consider the matrix

Column space

Image via Wikipedia

Let A be an m × n matrix, with column vectors v₁, v₂, …, v_n. A linear combination of these vectors is any vector of the form

where c₁, c₂, …, c_n are scalars. The set of all possible linear combinations of v₁,…,v_n is called the column space of A. That is, the column space of A is the span of the vectors v₁,…,v_n.

Example

If , then the column vectors are v₁ = (1, 0, 2)^T and v₂ = (0, 1, 0)^T.

A linear combination of v₁ and v₂is any vector of the form

The set of all such vectors is the column space of A. In this case, the column space is precisely the set of vectors (x, y, z) ∈ R³ satisfying the equation z = 2x (using Cartesian coordinates, this set is a plane through the origin in three-dimensional space).